PRO:ZKSwap團隊解讀零知識證明算法之Bulletproofs：Arithmetic Circuits

Bulleproofs算法有兩個方面的應用。

一個是Rangeproof：

第一講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof1

第二講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof2

第三講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof3

另一個是generalarithmeticcircuits，本編文章就來主要分享Bulletproofs在后者上的應用。

ArithmeticCircuits

英國法官：Craig Wright起訴Kraken和Coinbase必須支付40萬英鎊法律費用:7月26日消息，澳大利亞計算機科學家Craig Wright必須支付40萬英鎊（約合51.6萬美元）的法律費用，以起訴加密貨幣交易所Coinbase和Kraken。

英格蘭和威爾士高等法院法官James Mellor表示，他不相信Craig Wright有能力支付訴訟費。他指出，在周二發布的一份判決書中，此前有關Craig Wright財務狀況的說法前后矛盾。

Mellor法官表示，這些證據“并不能說服我”Craig Wright或他的投資公司有流動資產來支付潛在的巨額法律費用；如果不提供擔保金，他將在幾周內撤銷此訴訟。[2023/7/26 16:00:03]

了解ZK-SNARK算法應該都知道算術環路的概念，下面一張圖展示了zk-snark算法中，算術環路的設計規則。

Will Clemente：在未來幾年內閃電網絡會有引人注目的發展:金色財經報道，Reflexivity Research聯合創始人Will Clemente在社交媒體發文稱，如果我們處于一個新的制度中，由于序數/brc-20而導致更高的比特幣傳輸費用，我認為在未來幾年內，閃電網絡會有一個非常引人注目的發展。[2023/5/8 14:49:05]

Circuit設計規則：

1.由乘法門和加法門組成，每個門固定兩個輸入一個輸出；

2.不標記通過加法門連接乘法門的線，如圖中綠線，僅起到連接作用；

3.同一條線直接或間接連接多個乘法門，僅表示為一條有效的線，為了方便理解，用紫色虛線表示其連接關系；

監測：0xb154開頭地址昨日從幣安轉出500萬枚ARB:3月29日消息，推特用戶The Data Nerd監測稱，0xb154開頭地址昨日從幣安轉出500萬枚ARB，目前該地址ARB持有量已超994萬枚，為ARB持有量第十四位的地址，并在所有非交易所以及非合約地址中排名第三位。[2023/3/30 13:33:54]

4.MulGate處的取值為圖中紅色字體所示

5.黃色線條為有效連接線

6.橙色線條表示MulGate對應的一階約束

那Bulletproofs算法的算術環路的設計規則是什么樣的呢？我們看看下圖。

Circuit設計規則：

1.由乘法門和加法門組成，每個門固定兩個輸入一個輸出；

2.不標記加法門

3.不標記有常量的乘法門

4.紅色字體表示乘法門的索引

5.黃色字體表示乘法門的輸入和輸出

6.橙色線條表示乘法門對應的一階約束

7.藍色線條表示相鄰乘法門間的一致性約束

因此，一個完整有效的算數電路應該滿足：

1.每個乘法門對應的的約束成立

2.乘法門之間的一致性約束成立

Zk-snark的算術電路通過R1CS滿足了上述兩個條件。

1.每個R1CS表示一個乘法門的約束

2.相鄰乘法門的輸出是下一個乘法門的輸入，如圖中的y,sym_1,sym_2

Bulletproofs的算術環路以通過以下兩種方式滿足上述兩個條件：

1.每個乘法門對應的約束成立

2.上個乘法門的輸出等于下個乘法門的輸入。

看起來兩個算法的證明一個算術電路有效的思想是一樣，但是由于兩個電路的標注規則不同，就產生兩個不同的約束結果。

Zk-snark算法以validwires為基本要素，每個wire有左輸入，右輸入，和輸出三個屬性

Bulletproofs算法以validMulgate為基本要素，每個Mulgate有左輸入，右輸入和輸出三個屬性

最后，附上一張對比圖：

總結以上可以看出，對數算術環路的滿足性問題，不同的算法具有不同的電路描述方式。Zk-snark算法由Circuits轉化到QAP，最終生成的證據僅僅再幾十個字節大小；

Bulletproofs的算法由Circuits轉化到innerproductor，生成的證明的大小和算術電路的乘法門的個數n有關O(log(n*Q)，電路越大，證據越大。

附錄

1.Bulletproofs論文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

2.BCG+講述了算術電路的另外一種描述形式?https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf

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