PRO:理解零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof (2)

前言

在本系列的第一篇文章中，我們介紹了Bulletproofs在Rangeproof上的應用，當prover想要證明v值在范圍內時，他需要發送2n+7個元素。然而，這種O(n)級的CC并不是我們想要的，希望能尋找一種方法可以把CC降低到O(log(n)級。

所以，本篇我們就主要介紹這個優化過程，主要分為兩部分：

以簡單的場景去闡述這個優化過程把第一篇的Rangeproof結果嵌入到優化過程注：第一篇文章由于格式的原因，公式顯示會有誤差，向量的特殊標記也沒有顯示出來，因此本篇將以圖片的形式展示整個過程；另外，本文最后也附上了第一篇文章的圖，幫助大家理解^_^

幣安將上線OXT 1-20倍 U本位永續合約:金色財經報道，幣安發布公告表示，將于2023年08月11日20:00（東八區時間）上線OXT 1-20倍 U本位永續合約。[2023/8/10 16:17:50]

ImprovedRangeproof----Asimpleexample

1.預備知識

2.一個簡單的場景

3.復雜度優化到O(log(n))

以色列央行：尚未就發行CBDC做出決定:金色財經報道，以色列央行正在監測各種情況，包括穩定幣的廣泛采用，以色列央行表示這可能會影響發行數字謝克爾 (SHAKED) 的決定。以色列央行在一份報告中明確表示，監管機構尚未就發行中央銀行數字貨幣（CBDC）做出決定。這份21頁的文件概述了各種情況，指出盡管世界上90%的中央銀行都在研究CBDC，但只有少數銀行已經推進到發行的地步。[2023/4/18 14:11:02]

下圖是一張基于上述過程的交互協議

以太坊L2網絡總鎖倉量為47.7億美元 近7日跌幅5.76%:金色財經報道，L2BEAT數據顯示，截至6月10日，以太坊Layer2上總鎖倉量為47.7億美元。近7日跌幅5.76%，其中鎖倉量最高的為擴容方案Arbitrum，約23.7億美元，占比49.68%。其次是dYdX，鎖倉量9.65億美元，占比20.2%。Optimism占據第三，鎖倉量8.3億美元，占比17.37%。[2022/6/11 4:18:21]

有幾點需要說明：

圖的右半部分分為兩個部分a.黃色部分為文章前面部分講述的過程。這又分為三個部分：?i.初始化：省略了P的計算和交互的過程，我們假定開始此證明協議前，驗證者已經有了一些基本的信息。這并不嚴謹，僅僅是為了清晰的表示后面的交互過程

?ii.LOOP：一個不斷迭代的過程，每次迭代，會:

產生一對(Li,Ri)，所有向量長度減半Verifier計算P?i?/g?i?/h?i`?iii.End：最后一步，向量a,b已減半成常量a,b

?b.綠色部分為黃色部分的進一步優化，優化思想主要是多次冪乘操作縮減成單詞冪乘操作，具體的是：

?i.上述LOOP中的第3步，延遲到最后一部一次性計算

ArealRangproof

回顧第一篇文章，我們知道，當我們要證明v屬于時，驗證者最終要驗證：

對關系式做個變換：

因此，prover是要證明有向量l，r滿足關系：

基于此關系，使用上述協議，就可以使rangeproof的交互復雜度降低到對數級。現在，是不是找到點內味了？

總結

本篇文章主要講到了，BulletProof是如何把Rangeproof的CC降低到O(log(n))，并且介紹了更近一步的優化。結合第一篇文章，相信你已經對基于Bulletproofs的Rangeproof原理有了整體的了解，在本系列的第三篇文章中，將給大家分享Rangeproof的工程上實現細節。

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