Proof:ZKSwap團隊解讀零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof（1）

前言

Bulletproofs，又一個有意思的零知識證明算法，相信讀者已經很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信設置；和zk-stark算法相比，它具有較小的proofsize。根據論文，它有兩個方面的應用：

用于rangeproof；用于一般算術電路的零知識證明。下面，讓我們先看一下Bulletproofs是如何高效的實現第一點。Rangeproof

1.預備知識

aL：表示向量{a1、a2……an}

2n：表示向量{20、21…2n-1}

<a、b>:表示向量內積∑ai*bi，結果是一個值

aob：向量對應位相乘，{a1*b1……anbn}，結果是一個向量

Sui基金會宣布面向APAC的Office Hours計劃:5月15日消息，Sui基金會的Growth團隊開啟“Office Hours”計劃，專注于為構建者提供從產品開發到業務成熟的全面指導，參與者將有機會與Sui基金會的Growth團隊成員會面，并獲得有關如何使項目成功的指導和資源支持。Growth團隊由經驗豐富的創業運營人員、營銷專家和業務發展專家組成。首次Office Hours將集中在亞太地區的項目，而歐洲、中東、非洲以及北美等將在不久后推出。[2023/5/15 15:03:13]

2.證明

Alice想要證明?v??=>則，需要證明一個relation得成立，如下所示：

{：V=?grhv?^v??}

public-xwitness-wrelation-R

美國眾議員推出區塊鏈監管確定性法案:金色財經報道，美國眾議院多數黨黨鞭、美國眾議員Tom Emmer推出區塊鏈監管確定性法案，以確保加密領域的開發商和非托管服務提供商不被視為匯款人，并且不受與托管加密貨幣交易所相同級別的監管。

眾議員Emmer解釋稱，從本質上講，加密貨幣和區塊鏈技術并不容易融入政策制定者過去在制定法規時考慮的框架。長期以來，聯邦監管機構和立法者將區塊鏈生態系統塞進了毫無意義的法定定義中，它應該很簡單，如果你不保管消費者資金，你就不是匯款人。我的法案為區塊鏈社區提供了必要的確認。該法案將幫助美國在加密貨幣領域保持技術領先地位。[2023/3/28 13:30:18]

即，對于公開信息x，Alice有隱私信息w，使得關系R成立。

令aL為金額v的在范圍內的二進制形式，則aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且滿足<aL,2n?>=v。因此，證明者需要證明以下幾個等式相等：

幣安、火必、Bitfinex 等加密公司承諾向土耳其提供援助:金色財經報道，土耳其、敘利亞發生大地震后，國際加密社區發出通過數字資產發送捐款的意愿，多個平臺承諾提供支持。包括幣安、Gate.io和Bitfinex在內的加密貨幣交易所表示，他們正在尋找發送支援的方法或已經開始準備援助包。加密貨幣交易所 BitGet 承諾提供 100 萬土耳其里拉（約 53,000 美元）用于人道主義援助， 火必（Huobi Global）承諾提供 200 萬里拉。此外，土耳其的區塊鏈行業和研究機構提出了一份請愿書，要求當局允許土耳其接受基于加密的捐贈。[2023/2/7 11:50:44]

等式(1)確保了承諾V和金額v的綁定關系，等式(2)確保了v的范圍，等式(3)、(4)確保了aL?元素只屬于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)總共包含了2n+1個約束，其中公式(2)1個，公式(3)(4)各n個。接下來，為了效率，我們需要把2n+1個約束轉換成1個約束。

比特幣礦商Marathon現在擁有10055個BTC:金色財經報道，Bitcoin Magazine在社交媒體上稱，比特幣礦商Marathon現在擁有10055 個BTC，價值超過2.1億美元，他們正在囤積他們開采的所有比特幣。[2022/7/8 2:00:36]

3.2n+1個約束轉換成1個約束

=>預備：從Zp?中任意選擇一個數y，則b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分條件；因為當b!=0n，等式成立的概率僅有n/p，p是有限域，遠大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么驗證者愿意相信b!=0n?。

利用這個理論，我們把等式(2)/(3)/(4)做以下轉換：

驗證者隨機選取一個數y發送給證明者證明者要證明：

同理，等式(5)確保了v的范圍，等式(6)(7)確保了aL?元素只屬于{0,1}。此時2n+1個約束轉換成3個約束，接下來，還需要做進一步的處理：

驗證者隨機選取一個數z發送給證明者證明者利用z對公式(5)(6)(7)進行線性組合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)

至此，我們已經把2n+1個約束轉換成1個約束。下面我們對公式(8)做進一步的優化，把三個點積優化成1個點積。

4.三個點積優化成1個點積

=>令

L=aL?-z*1n

R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n

δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>

5.驗證：

證明者把L/R/V發送給驗證者；驗證者事先算好δ驗證者根據L算出來aL，根據<aL,2n?>=v算出v驗證者根據L、R、v、δ驗證等式<L,R>=z2?*v+δ因為y，z都是驗證者提供，因此如果驗證者如果能驗證公式(9)成立，則相信等式(5)(6)(7)成立，則相信等式(2)(3)(4)成立，則相信v滿足關系v?。

但是，可以看到上述過程，泄露了v的信息，因此需要一個零知識證明協議。

6.一個零知識證明協議

由于L、R包含了v的相關信息，因此，我們需要添加兩個盲因子sL、sR來隱藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：

此時，定義公式(12)

可以看出系數t0是l(x)和r(x)常數項的乘積，即滿足：

t0?=<L,R>=z2*v+δ

因此，問題由證明：

<L,R>=z2*v+δ

轉化成了，在任意一點x，驗證者驗證多項式值l(x),r(x),t(x)滿足關系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多項式值l(x),r(x),t(x)由證明者提供，為了保證l(x)，r(x)well-formed，即：

需要校驗：

=>當且僅當l/rwell-formed，等式成立

為了保證t(x)well-fromed，即：

t=t0?+t1x+t2x2

需要校驗：

=>?當且僅當t和τx?welle-formed，等式成立

具體的協議流程圖如下圖所示：

總結

從上述流程可以看出，一次rangeproof，證明者需要發送總共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**個元素給驗證者，總共2n+3個Zp元素，4個G元素。下一篇文章將細講，Bulletproofs如何將交互復雜度降低到對數級O(log(n))。

附錄

Bulletproofs論文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

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