UNI:深入分析 Uniswap V3 流動性供應的數學原理

撰文：MellowProtocol編譯：Blake

大家好，客套話就不說了，讓我們談談UniswapV3的數學邏輯吧！

我們將深入探討UniswapV3中流動性供應的工作原理，以及如何調整兩種代幣的投資組合，以便您產生最大的LP頭寸，同時將IL降至最低。接下來會有很多的公式和數字。

UniswapV2回顧：交易者的角度

UniswapV2是一個自動化的做市商，它允許：

交易者將一種資產換成另一種資產；

流動性提供者(LP)提供流動性并賺取交易費用。

每個池有兩種代幣：X和Y。如果池內有Xp?個X代幣和Yp?的Y代幣，則池流動性L定義為：

當前池中代幣的比例定義了當前的交換價格p：

如果交易者想要交換y個Y代幣，他們將y個代幣存入池中并收到x個X代幣。x由池使用以下等式決定：

這里的?是池費。對于UniV2來說，它的數值是0.3%。

現在假設當?=0時，讓我們看看如果當前價格p=1，池儲備Xp=1，Yp=1，并且交易者想要交換y=1個單位的Y代幣會發生什么。

圖1：UniswapV2交易者的角度

交易者將收回X的x=0.5代幣。池儲備和價格將更新為Xp?=0.5,Yp?=2,p=4。

我們預計當前價格p=1時x=1，但實際x金額會受到損失，我們稱之為滑點：

好消息是sl→0，因為池流動性L增加或交換量減少，即對于足夠小的交換量，您以價格p交換的費用較小。

藍色光標：與騰訊在作為元宇宙入口的虛擬人業務有較深入合作:11月16日消息，藍色光標在互動平臺表示，公司與騰訊在游戲、動漫、閱文等層面有深入合作；同時，在作為元宇宙入口的虛擬人業務，也有較深入合作。[2021/11/16 21:54:34]

UniswapV2回顧：流動性提供者的角度

現在讓我們看看如果p=4，池準備金Xp?=0.5，Yp?=2，L=1并且流動性提供者想要放置x=0.25的代幣X和y=1的代幣Y會發生什么。

圖2：UniswapV2流動性提供者的角度

在這種情況下，池的新儲備將為Xp?=0.75、Yp?=3和L2=Xp·Yp?=2.25，因此L=1.5并且流動性提供者以UniV2lp代幣的形式收到ΔL=0.5的流動性。現在，在每筆交易中，流動性提供者將收到ΔL/L=1/3份額的費用。

在這個例子中，我們故意使用x=0.25和y=1作為流動性提供者的投資，因此y/x=4=p。

如果y/x≠p會發生什么？在這種情況下，一部分代幣Δx或Δy會被返還給流動性提供者，使得剩余比率(y-Δy)/x=p或y/(x-Δx)=p。如果流動性提供者想要充分利用他們的代幣并獲得最大的流動性，他們首先必須交易他們的代幣，以便y/x=p然后將它們放入池中。

對于UniV2，調整您的代幣組合以獲得最大流動性非常簡單。UniV3會怎么樣呢？事實證明這越來越復雜。

UniswapV3：單倉

2021年5月，Uniswap團隊推出了V3。在UniV3上，您可以將流動性置于任何價格區間。只要價格在范圍內，您就有流動性L并賺取費用。當價格超出范圍時，您不會賺取任何費用，直到價格回到范圍內。

云南省委宣傳部副部長：深入推進區塊鏈與各行業領域的深度融合:8月25日，云南省委宣傳部副部長、省新聞出版（版權）局局長楊潤，市委常委、市委宣傳部部長徐曉梅率隊到五華區調研“區塊鏈 ”大文創產業建設情況。云南省區塊鏈中心成立了產業聯盟，數十家國內外企業加入，以商招商的產業氛圍日漸濃厚。中心成立一年以來，以成熟領先的區塊鏈技術助力數字云南發展。上線云南區塊鏈平臺，為企業快速部署應用提供極大便利。楊潤表示，五華區要按照“以應用換市場、以市場換產業”思路，以區塊鏈技術應用為突破口，強化政策引領，加大招商引資力度，引進國內外優秀企業落地園區，聚焦場景應用，深入推進區塊鏈與各行業領域的深度融合，把五華區打造成區塊鏈技術應用試驗場、產業發展聚集區。（五華區委宣傳部）[2021/8/30 22:46:23]

讓我們看看它是如何運作的。首先，讓我們考慮只有一個持倉且價格區間為=的礦池。當前池準備金為Xp?=Yp?=0.5，價格為p=1。在這種情況下，隨著交換發生且價格在變動，我們觀察到以下池行為：

圖3：UniswapV3單倉

這里綠色曲線是用于交換的實際代幣儲備，紅色曲線是虛擬流動性曲線，模擬用戶在UniV2上進行交換。

只要價格在范圍內，池的行為就與擁有紅色流動性曲線的UniV2池完全相同。當價格越界時，虛擬流動性降至零，實際流動性集中在X或Y代幣中，不用于交換。

UniswapV3：多倉

現在讓我們看看如果在上有兩個流動性投資x?,y?和在上有x?,y?會發生什么。這些投資中的每一個都意味著虛擬流動性L?和L?

外匯局山西省分局深入推進跨境金融區塊鏈服務平臺試點工作:疫情期間，外匯局山西省分局深入推進國家外匯管理局推出的跨境金融區塊鏈服務平臺的試點工作，專題調研全省中小微外貿企業融資現狀；深入宣傳，促進更多中小微外貿企業了解區塊鏈平臺融資的便利性；加強推動，鼓勵銀行對中小微外貿企業建立專營服務機制；及時引導，推進銀行主動對接中小微外貿企業，開展出口應收賬款融資；“點對點”輔導，加快推進地方法人銀行上線區塊鏈平臺，挖掘中小微外貿企業融資需求。通過外匯局的有效措施，銀行對中小企業融資的積極性有了明顯提高，企業對區塊鏈融資的便利性也越來越了解，銀行擴大了對中小微企業的融資規模，企業獲得了便捷的融資，實現了“一項政策、多方共贏”。截至今年3月底，16家銀行加入了區塊鏈平臺，全省通過區塊鏈平臺累計放款7.65億美元。山西省涉外中小微外貿企業復工復產1458戶，復工率達91%。（金融時報）[2020/4/9]

圖4：UniswapV3兩個倉位

可以看出，當兩個區間都覆蓋價格時，兩個實際儲備都被使用，池虛擬流動性等于流動性總和。當只有一個區間覆蓋價格時——僅使用其流動性。當價格在兩個區間之外時，池流動性為零。

這為UniV3提供了一個獨特的特點——分段流動性函數。當價格沿著虛擬曲線移動時，流動性價值在某些價格點上變化了一些ΔL。您可以在圖3中看到在價格p??和p??處發生這種跳躍。

刻度和刻度間距

UniswapV3的實際情況比上圖中顯示的要困難一些。在真正的UniV3中，您不能將流動性置于任意價格區間。取而代之的是，所謂的刻度在價格范圍內形成了一個離散的網格。刻度由公式定義：

聲音 | 中國科學院院士：區塊鏈等已經深入到市民生活的方方面面:9月10日至11日，2019世界計算機大會在湖南長沙舉行，中國科學院院士張平文說，計算機包括5G、云計算、大數據、人工智能、區塊鏈等，已經深入到市民生活的方方面面。（中國新聞網）[2019/9/12]

對于每個池，還有一個刻度間隔的概念。刻度間距是刻度之上的另一個網格，它限制了您可以放置流動性的刻度。例如，對于0.3%-費用的池刻度間隔是60，這樣你可以只在每個60的刻度上放置流動性，例如，0,-60,60,120,-120,...下圖顯示了刻度間距刻度和刻度

圖5：刻度和刻度間距

因為您的流動性價格區間界限只能是刻度間距刻度，所以任何空間刻度間隔內的流動性都是恒定的，并且只有在價格穿過刻度間距刻度時才會改變。

因此，我們有一個分段流動性函數，其中可能在刻度間隔刻度處發生跳躍。

倉位的流動性價值

讓我們看看流動性L是如何計算的，給定初始代幣x和y、價格區間和當前價格p。

從這些等式中可以看出，如果x和y代幣的比例不正確，則一些代幣將返回給流動性提供者。這與我們在UniV2中觀察到的行為類似。

但是對于UniV3，它更復雜，因為我們有分段流動性函數，在刻度間隔刻度處跳躍。在下一章中，我們將展示如何在UniV3上以最有效的方式放置代幣。

有效的流動性提供

如果我們有一個由x個代幣X和y個代幣Y組成的投資組合，并且我們想為價格范圍提供流動性，我們應該交換多少代幣X或Y以從中獲得最大的流動性？

今晚8點袁煜明將做客《金色講堂》 深入解讀“什么是區塊鏈思維”:今晚20:00，火幣區塊鏈應用研究院院長袁煜明將做客《金色講堂》深入解讀“什么是區塊鏈思維”。袁煜明將從股份制的種種弊端出發對區塊鏈的出現給行業所帶來的改變進行一一講解。同時，袁煜明還會對區塊鏈機制目前所存在的問題進行全方位的解讀。詳情請關注今晚8：00的《金色講堂》。[2018/4/10]

為了回答這個問題，讓我們用R=y/x來表示——我們投資組合中代幣的比率和r??(p)——最佳代幣比率，使得Lx=Ly。從Lx和Ly的公式我們可以得出：

所以我們的目標是使R=r??。

然而，這項任務比僅僅將x和y對齊到指定的比率r??稍微復雜一些。當我們開始將x交換為y或反之亦然時，池價格p開始變化，r??也是如此。這種行為如下圖所示：

圖6：將R對齊到r??

另一層復雜的是，隨著價格p的變化以及跨越分時間隔分時池流動性L也在變化！為了解決這個問題，讓我們首先了解在流動性L不變的情況下，當我們用代幣Y交換代幣X時，比率R如何演變。

從方程L2=xy和p=y/x很容易推導出：

因此，如果我們用Y交換X，從Y中減去費用，交換后的價格結算為p?(p?>p?)：

如果是用X交換Y，則p?<p?，我們有：

下一個問題是：

R在什么比率時會穿過刻度間隔以及產生流動性變化？

如果我們將R+表示為穿越上刻度的比率，R-表示下刻度的比率，p?是初始價格，p-、p+是各自在刻度上對應的價格，L為刻度間隔的當前流動性，然后我們得到：

最后，我們已準備好解決問題。

首先，我們需要回答2個問題：

R>r??(p?)嗎？如果是，我們需要將Y交換為X，否則的話將X交換為Y。

當我們交換時——礦池價格會跨越一個刻度間隔刻度嗎？如果否-我們可以立即解決問題。如果是-我們需要調整我們的值，就像我們一直交換到刻度間隔，然后在新的流動性上重復我們的算法。

這些問題的答案將我們帶到了4個不同的案例中：

在一個刻度間隔內用Y交換X：R>r??(p?),R+≤r??(p+)

在一個刻度間隔內用X交換Y：R<r??(p?),R-≥r??(p-)

在不同的刻度間隔中用Y交換X：R>r??(p?),R+>r??(p+)

在不同的刻度間隔中用X交換Y：R<r??(p?),R-<r??(p-)

情況1：在一個刻度間隔內用Y交換X：R>r??(p?),R+≤r??(p+)

圖7：在一個刻度間隔內將Y交換為X。當我們從Y交換到X時，價格增加到p?，R減少到R+，而r??增加到r??+。由于最初R>r??且R+≤r??+，因此可以保證R=r在刻度間隔內。

如果我們用y交換x并且交換后的價格穩定在p?，我們只需要確保Ryx(p?)=r??(p?)：

如果我們假設z=√p?并重新排列方程的項，我們將得到一個二次方程：

因此我們可以求解它并找到p?：

要交換的代幣Y的數量是：

情況2：在一個刻度間隔內用X交換Y：R<r??(p?),R-≥r??(p-)

圖8：在一個刻度間隔內用X交換Y。當我們從X交換到Y時，價格下降到p?，R增長到R-，而r??下降到r??-。由于最初R<r??并且R-≥r??-可以保證R=r在刻度間隔內。

這種情況與情況1非常相似，除了我們是將X交換為Y，因此我們需要確保Rxy(p?)=r??(p?)：

與情況1類似，我們可以得到：

要交換的代幣X的數量是：

情況3：在不同的刻度間隔中用Y交換X：R>r??(p?)，R+>r??(p+)

圖9：在不同的刻度間隔中將Y交換為X。當我們從Y交換到X時，價格會增長到p2，然后增長到p?，R減少到R+，而r??增加到r??+。由于最初R>r??和R+>r??+，因此當我們交換到R=r??時，可以保證價格將跨越刻度間距刻度

在這種情況下，我們將Y交換為X，直到R=R+并且p=p+并且我們處于具有新流動性的新刻度間隔中。我們記得我們交換了多少個Y標記，以便稍后將它們添加到最終數字中。然后我們重新開始算法并重復，直到我們遇到案例1。那我們就重新定義：

情況4：在不同的刻度間隔中用X交換Y：R<r??(p?),R-<r??(p-)

圖10：在不同的刻度間隔中將X交換為Y。當我們從X交換到Y時，價格下降到p?然后到p?，R增加到R-，而r??減少到r??-。由于最初R<r??和R-<r??-可以保證在我們交換到R=r??時價格將跨越刻度間距刻度

與情況3完全相似，除了我們將X交換為Y，直到R=R-并重復直到我們遇到情況2。我們重新定義：

結論

在UniV3中以正確的比例提供流動性是一項非常復雜的任務。您需要考慮很多因素，例如刻度間隔內的不同流動性值。上面的算法描述了如何使用池數據來計算需要交換的代幣數量以獲得最高的流動性。

數字圖表可在此處獲得：

https://www.desmos.com/calculator/rqbrnapxbj

https://www.desmos.com/calculator/ys7kcfgjxe

https://www.desmos.com/calculator/ehdwkbtu7z

https://www.desmos.com/calculator/huzzwffze9

https://www.desmos.com/calculator/t9u9x8xgcy

在以后的文章中，我們計劃討論UniV3的其他有趣方面，如無常損失、多頭投資組合、策略風險等。

MellowProtocol正在探索AMM的流動性提供和做市空間。您還可以在?此處查看我們的初步研究論文。Mellow的目標是建立一個強大的工具生態系統，以消除市場低效率并為用戶創造成果。

我們不僅將其視為一種產品，而且將其視為復雜數學可以為DeFi領域帶來的演變。與Uniswap和Curve創新用戶交易體驗的方式類似，我們相信LP優化也在推動tradfi的可能性。

在接下來的文章中，我們將討論有關如何實施適當的再平衡策略的更多想法，并將繼續討論DeFi中更廣泛的主題。

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