SWAP:深入分析Uniswap V3流動性供應的數學原理

前言

Uniswap是DeFi領域的頭部去中心化交易所，其在今年5月上線了V3版本協議。V3版本與之前V2版本相比存在諸多差異，如集中流動性、多個費用等級、新的預言機等等。在這些多樣的特點背后，究竟藏著怎樣的數學奧秘，同時是否真的能為用戶帶來更大的收益，減少無常損失？知道創宇區塊鏈安全實驗室將帶你從數學原理角度在UniswapV3集中流動性方面進行剖析。何謂集中流動性

在UniswapV3中，流動性提供者可以將其提供的流動性"限制"在任意的價格區間內來集中其流動性。為了解釋這一概念，首先我們關聯到UniswapV2的自動做市商曲線。在該曲線中，用戶的流動性被均勻的分布在整個(0,正無窮大)之中。

圖1在V2版本中，由于許多池子的價格變動沒有那么的頻繁，比如UDST/DAI池子中。由于其價值均錨定美元，發生的交易將會聚集在上圖中的A點附近，這就意味著流動性池中的大部分資產是永遠不會被觸及到的。因此在V3中，用戶可以將其流動性聚集在某一個線段。如下圖B到C點：

G20會議：鼓勵繼續深入分析央行數字貨幣在促進跨境支付方面的潛在作用:10月31日， 二十國集團領導人第十六次峰會于10月30日至31日在意大利首都羅馬以線上線下相結合方式舉行。峰會通過了《二十國集團領導人羅馬峰會宣言》。摘要如下：

我們歡迎金融穩定理事會從金融穩定角度總結新冠肺炎疫情教訓的最終報告以及下步建議。我們鼓勵繼續深入分析央行數字貨幣在促進跨境支付方面的潛在作用及其對國際貨幣體系更廣泛的影響。（經濟日報）[2021/11/1 6:24:01]

圖2這樣，由于大量用戶的流動性被集中，對于B點到C點的線段的流動性將會變得非常"厚"，這樣的池子將使得來交易的人交易滑點得以顯著減小，并有效提高資本效率。如何將流動性集中

在具體實現的過程中，V3依靠了資產的杠桿。將一部分用戶資產虛擬出來，導致了坐標軸圖像的平移，虛擬資產假設對應x'和y'。在原始的UniswapV2中，曲線公式為：x*y=kUniswapV3通過引入x'和y'資產升級了該公式。此處x'我們將其稱為x資產的虛擬儲備，y'稱為y資產的虛擬儲備，于是引入了如下式子：

動態 | 重慶兩江新區與重慶市科學技術研究院達成合作 雙方將在區塊鏈等領域深入探討合作:金色財經報道，重慶兩江新區與重慶市科學技術研究院27日在當地簽署全面戰略合作協議。雙方要在區塊鏈等領域深入探討合作。[2019/11/28]

圖3上方為虛擬平移的AMM曲線根據V2的自動做市曲線方程。讓L被定義為k=L^2，于是有該式：x*y=k=L^2對其開根號，即有而對于價格來說，當前的價格P(用y對x資產定價)有：根據式3，對其取平方根，即有：聯立式4與式2，我們可以消去y，對于閉區間任一點，則有：同理可消去y，對于任一點，則有：于是，我們只要知道P(x的價格)，在流動性沒有改變時(L不改變)，則可以得到對應的x資產量和y資產量。計算虛擬資產(x'/y')

聲音 | 律師劉曄：法院可以更一步深入了解并思考比特幣SV的屬性:上海市海上律師事務所合伙人劉曄在微博表示：當法院進一步思考時，當知道，比特幣并非虛擬財產而是真實財產。當更一步深入了解并思考時，當知道，比特幣SV乃遵循比特幣白皮書的原始理念，乃真正比特幣，其不僅僅是真實財產，且以提供真實賬本空間服務的形式在實現真實商品屬性的同時（當下法律），也逐漸走向成為全球貨幣之路（未來法律）。據媒體報道，今日，首例比特幣財產侵權糾紛案在杭州互聯網法院開庭宣判。本次庭審法院確認了比特幣“虛擬財產”屬性。[2019/7/18]

圖4虛擬資產x'與y'考慮極端情況，在上圖中，經過平移后上方的AMM圖形由于在B點時，用戶提供的x資產由于在實際中已全部損耗。也就是說x=0，剩余的x均為虛擬出來的，即x'。根據式5去計算。此時計算x資產量對于B點有：

聲音 | 北郵教授：5G的本質是無限連接 將促進區塊鏈等技術的深入發展:據澎湃新聞消息，5月26日下午，2019中國國際大數據產業博覽會舉行“5G重構數字社會基礎生態”高端對話，中國信息經濟學會副會長、北京郵電大學教授呂廷杰在會上表示，5G循序漸進的發展一定會帶來一個完全不同的社會，它會使社會的效率更高，因此也會涉及到更大的安全問題。他指出，5G的本質是無限連接，連接產生了高價值的關鍵數據，未來的大數據會有全新的飛躍，將促進人工智能、區塊鏈等技術的深入發展，生產很多新的架構和生態，必將重構數字經濟的生態，在未來5-8年會滲透到生活的方方面面，也將改變10年以后的整個社會的游戲規則。[2019/5/26]

圖5用戶提供的真實資產與虛擬儲備AMM曲線隱患-無常損失

由于V3在用戶的選擇下將流動性使用添加杠桿的方式進行了集中，而對于流動性提供者來說本質上是在與用戶做對手盤，即越跌越買，越高越賣，這將導致無常損失的加劇。根據上述分析，只要價格達到設定的區間臨界點，流動性提供者的代幣將會完全轉換為另一種處于劣勢的代幣，并且在價格重新進入該臨界點之前不會賺取交易費用。世上沒有什么免費的午餐。風險越高，收益越高。你提供的流動性越集中，你獲得的手續費收入就越高，同時也將承擔更多的無常損失。——Uniswap創始人，HaydenAdamsUniswapV3--添加流動性

動態 | 南開大學新設金融科技研究中心 對區塊鏈等科研課題進行深入研究:7月13日，南開大學金融學院金融科技研究中心在天津成立。該中心內設南開大學金融學院金融科技創新實驗室，對金融以及人工智能、大數據、區塊鏈等科研課題進行深入研究，并推動與在金融科技領域全球領先的機構和專家廣泛合作，培養出優秀的研究人才和產業人才。[2018/7/13]

具體而言，假設現有一UniswapV3交易池，交易對ETH/DAI，池中X與Y儲備比例10:800，L2為8000，P為80即交易價格80DAI/ETH。當前價格對應點A(10,800)，若一流動性提供商，嘗試在P=進行做市。對應的點B(5,1600)，P=320。點C(20,400)，P=20

該流動性提供商想投入3個ETH，這3個ETH會被全部用于xreal，由于當前價格在選定區間內。根據白皮書，有以下式子：由式10，投入△x=3，投入的ETH將改變池子的L。經過計算△L為：再通過△L計算△y:于是投入3個ETH,時，計算投入的DAI應為240個。新的L'約為143.11(僅限于在閉區間P=)。UniswapV3--Swap

對于該UniswapV3池子,若ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者在該DEX中用DAI兌換ETH來套利，為了將其達到與外部平衡，將有P=80==>P'=100，根據白皮書，Swap計算價格變化如下：

我們將其百分比化：IL_V3=(540-533.31)/540≈1.239%集中流動性放大了資產L的占比，提高資產效率的同時承擔了更多的無常損失。當然，這只是選擇做市區間比較小，同時分攤比例較大的情況，現實會有許多人根據投入的L占比大小來分攤這筆swap。并且該筆swap由于本身比較大，幾乎占了總資產的21.113%，進而顯得無常損失的百分比很大，這也印證了盲目做市所帶來的虧損。另外，價格波動對其也存在影響，只上漲到P=85時IL_V3約為0.58%。UniswapV2--添加流動性

而對于UniswapV2，假設原池中的資產量為10個ETH和800個DAI，即P為80DAI/ETH。流動性提供者投入了3ETH和240DAI，此時則存在13個ETH與1040個DAI，價格仍為80DAI/ETH，比重占23.077%，新的K為13520。UniswapV2--Swap

當ETH突然上漲，價格到達1ETH=100DAI，此時就會有套利者用DAI兌換ETH來套利。設共用△y個DAI兌換△x個ETH后，AMM池中ETH:DAI價格達到與外部平衡的1:100不考慮手續費等因素，則有：

IL_V2=(540-536.66)/540≈0.6185%具體將會取決于在V3做市區間，越小則杠桿越多，x'和y'越大，同時無常損失和手續費收益也會越多。當然，用戶也可以如V2一樣將流動性分攤到整個曲線中去而不是某個線段，即在0到正無窮進行做市：

后記

由于篇幅原因，本篇僅就集中流動性進行了討論。UniswapV3創新了很多的新功能，其復雜程度相較于V2增加了非常多。無可否認，UniswapV3的創新使得UniswapV2被加強，用戶可以選擇將其流動性集中在任何一個區間以獲得更多的手續費。但與此同時這也將導致更多的無常損失和更大的資金轉換為劣勢資產速度，而這也產生了許多新特性如限價單swap等功能。因此，在選擇做LP之前，需要認真思考自己的需求，切忌盲目做市。參考

UniswapV3白皮書UniswapV3新特性解析

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