SWAP:深入分析 Uniswap V3 流動性供應的數學原理

Uniswap 是 DeFi 領域的頭部去中心化交易所，其在今年 5 月上線了 V3 版本協議。V3 版本與之前 V2 版本相比存在諸多差異，如集中流動性、多個費用等級、新的預言機等等。

在這些多樣的特點背后，究竟藏著怎樣的數學奧秘，同時是否真的能為用戶帶來更大的收益，減少無常損失？

知道創宇區塊鏈安全實驗室?將帶你從數學原理角度在 Uniswap V3 集中流動性方面進行剖析。

在 Uniswap V3 中， 流動性提供者可以將其提供的流動性 "限制" 在任意的價格區間內來集中其流動性。

為了解釋這一概念，首先我們關聯到 Uniswap V2 的自動做市商曲線。在該曲線中，用戶的流動性被均勻的分布在整個 (0,正無窮大) 之中。

圖1

在 V2 版本中，由于許多池子的價格變動沒有那么的頻繁，比如 UDST/DAI 池子中。由于其價值均錨定美元，發生的交易將會聚集在上圖中的 A 點附近（即x≈y）， 這就意味著流動性池中的大部分資產是永遠不會被觸及到的。

因此在 V3 中，用戶可以將其流動性聚集在某一個線段。如下圖 B 到 C 點：

聲音 | 河北辛集副市長：大力推進“區塊鏈+智能制造”的深入融合:12月27日，河北省鋼鐵行業“區塊鏈+智能制造”主題峰會在石家莊辛集市舉行，峰會由河北省冶金行業協會、中國電信河北分公司、長城新媒體集團主辦。辛集市副市長牛軍波表示，冶金行業的發展對于辛集市的經濟建設起到舉足輕重的作用，目前鋼鐵行業的自動化、信息化的發展已具有良好的基礎。大力推進“區塊鏈+智能制造”的深入融合，可以為鋼鐵行業帶來全面的提升，在提高企業競爭力、打造優質產品方面提供有力支持。（長城網）[2019/12/27]

圖2

這樣，由于大量用戶的流動性被集中，對于 B 點到 C 點的線段的流動性將會變得非常 "厚"，這樣的池子將使得來交易的人交易滑點得以顯著減小，并有效提高資本效率。

在具體實現的過程中，V3 依靠了資產的杠桿。將一部分用戶資產虛擬出來，導致了坐標軸圖像的平移，虛擬資產假設對應 x' 和 y'。

在原始的 Uniswap V2 中，曲線公式為：x*y=k

Uniswap V3 通過引入 x' 和 y' 資產升級了該公式。此處x'我們將其稱為 x 資產的虛擬儲備，y' 稱為 y 資產的虛擬儲備，于是引入了如下式子：

聲音 | 立陶宛銀行：央行“父母控制”已過時 應更深入了解加密資產領域:在12月10日發布的有關中央銀行數字貨幣（CBDC）的分析中，立陶宛銀行表示，在加密資產方面，中央銀行的“父母控制”已經過時，因此不應阻止中央銀行進入該領域以了解它。銀行應參與數字資產領域，以獲取此快速發展資產類別的經驗。（Cointelegraph）[2019/12/11]

由于為資產添加了杠桿（虛擬資產），使下圖中原本在下面的曲線，能夠平移到上面儲備量更大的曲線中去，這也意味著在有限的的價格范圍 [xb, xc] 內，一組較小的儲備 x、y 能夠充當更大的儲備 x+x'、y+y'。

同時，上方為虛擬資產被添加后的虛擬 AMM 曲線。在實際交易曲線中（限于 BC 點），下方才是流動性提供者資產的真實變化曲線。

于是，在 B 點或 C 點時，處于強勢的資產將被損耗為 0，也就是說將會全部兌換成劣勢資產并停止做市。

如下圖 3：

圖 3 上方為虛擬平移的AMM曲線

根據 V2 的自動做市曲線方程。讓 L 被定義為 k = L^2，于是有該式：x*y = k = L^2

聲音 | 瑞銀前負責人：DLT技術已深入金融機構設計核心:據AMBCrypto今日消息，瑞銀（UBS）前首席執行官Peter Wuffli認為DLT技術很強大。他表示，DLT技術深入到了金融機構設計的核心，即會計。在傳統會計中，具有三層或四層控制：銀行的內部會計部門，內部審計，外部審計和銀行主管；而DLT技術可確保所有內容都是可追溯和正確的，并且可以通過各方之間的共識建立控制。這比官僚控制的分層鏈更好。同時，Wuffli還建議對新技術持謹慎態度。他說人們不應該高估技術的作用，投資者在投資加密技術之前必須對風險和回報做出正確的判斷，就像對待其他任何資產類別一樣。[2019/9/26]

對其開根號，即有

而對于價格來說，當前的價格 P (用 y 對 x 資產定價)有：

根據式 3，對其取平方根，即有：

聯立式 4 與式 2，我們可以消去 y，對于閉區間 [B, C] 任一點，則有：

同理可消去 y，對于任一點，則有：

于是，我們只要知道 P ( x 的價格)，在流動性沒有改變時( L 不改變)，則可以得到對應的 x 資產量和 y 資產量。

動態 | 北大光華成立金融科技聯合實驗室 向區塊鏈等五大領域深入研究:10月12日，北京大學光華管理學院與度小滿金融宣布合作成立金融科技聯合實驗室，并在北京大學為實驗室揭牌。聯合實驗室主任劉曉蕾表示實驗室將圍繞數字化資產配置、超大規模關聯網絡、在線機器人、監管科技、區塊鏈技術等五大領域深入研究，積極探索前沿技術在金融場景中的應用，同時推動跨學科人才的培養和輸出。[2018/10/12]

圖4 虛擬資產x'與y'

考慮極端情況，在上圖中，經過平移后上方的 AMM 圖形由于在 B 點時，用戶提供的 x 資產由于在實際中已全部損耗。

也就是說 x=0，剩余的 x 均為虛擬出來的，即 x'。

根據式 5 去計算。此時計算 x 資產量對于 B 點有：

同理，我們計算 C 點，此時用戶提供的 y 資產由于在實際中已全部損耗，即有 y=0，剩余的 y 均為虛擬出來的，即 y'。則有

由上可知，xb?與?yc?則是Uniswap為用戶虛擬出來的Token量，即x'與y'，這也是Uniswap中為用戶開的杠桿的Token數量。

于是，我們得到完整Uniswap V3的AMM曲線，見式9：

中國科技大學原黨委書記郭傳杰：要促進區塊鏈等技術在教育領域的深入應用:5月30日，第四屆“互聯網+教育”創新周在北京閉幕。中國科技大學原黨委書記郭傳杰表示，要促進人工智能、云計算、大數據、區塊鏈、物聯網等技術在基礎教育研究領域的深入應用，提升互聯網和教育的深度融合及創新。[2018/6/2]

同時，對于選定的區間中的任意一點，由用戶提供的真實的資產見下圖：

注：下圖摘自Uniswap V3白皮書 ，區間為[b,a]，任意一點被選擇為c

圖 5 用戶提供的真實資產與虛擬儲備 AMM 曲線

由于 V3 在用戶的選擇下將流動性使用添加杠桿的方式進行了集中，而對于流動性提供者來說本質上是在與用戶做對手盤，即越跌越買，越高越賣，這將導致無常損失的加劇。

根據上述分析，只要價格達到設定的區間臨界點，流動性提供者的代幣將會完全轉換為另一種處于劣勢的代幣，并且在價格重新進入該臨界點之前不會賺取交易費用。

世上沒有什么免費的午餐。風險越高，收益越高。你提供的流動性越集中，你獲得的手續費收入就越高，同時也將承擔更多的無常損失。——Uniswap創始人，Hayden Adams

具體而言，假設現有一 Uniswap V3 交易池，交易對 ETH/DAI，池中 X 與 Y 儲備比例 10 : 800，L2 為 8000，P 為 80 即交易價格 80DAI /ETH 。

當前價格對應點 A(10,800)， 若一流動性提供商，嘗試在 P=[20, 320]進行做市。對應的 點B(5,1600)，P=320。點 C(20,400)，P=20

該流動性提供商想投入 3 個 ETH，這 3 個 ETH 會被全部用于 xreal ，由于當前價格在選定區間內。

根據白皮書，有以下式子：

由式 10，投入 △x=3，投入的 ETH 將改變池子的 L。經過計算 △L 為：

再通過 △L 計算 △y:

于是投入 3 個 ETH（△x）,時，計算投入的 DAI 應為 240 個。新的 L' 約為 143.11 (僅限于在閉區間 P=[20, 320])。

對于該 Uniswap V3 池子, 若 ETH 突然上漲，價格到達 1ETH=100DAI，此時就會有套利者在該 DEX 中用 DAI 兌換 ETH 來套利，為了將其達到與外部平衡，將有 P=80 ==> P'=100，根據白皮書，Swap 計算價格變化如下：

將根號后的起始價格 P 和結束價格 P' 帶入，可以計算得到 △y≈151.09，而 △x≈1.689。

若 Swap 的資產假設該流動性提供者按照 L 比例劃分了 37.5%，于是該流動性提供者分攤 x≈0.6334，y≈56.66

于是我們得出如下表格：

我們將其百分比化：IL_V3 = (540-533.31)/540 ≈1.239%

集中流動性放大了資產L的占比，提高資產效率的同時承擔了更多的無常損失。當然，這只是選擇做市區間比較小，同時分攤比例較大的情況，現實會有許多人根據投入的L占比大小來分攤這筆swap。并且該筆swap由于本身比較大，幾乎占了總資產的21.113%，進而顯得無常損失的百分比很大，這也印證了盲目做市所帶來的虧損。另外，價格波動對其也存在影響，只上漲到P=85時IL_V3約為0.58%。

而對于 Uniswap V2，假設原池中的資產量為 10 個 ETH 和 800 個 DAI，即 P 為 80DAI/ETH。

流動性提供者投入了 3ETH 和 240DAI，此時則存在 13 個 ETH 與 1040 個 DAI，價格仍為 80DAI/ETH，比重占 23.077%，新的 K 為 13520。

當 ETH 突然上漲，價格到達 1ETH=100DAI，此時就會有套利者用 DAI 兌換ETH來套利。

設共用 △y 個 DAI 兌換 △x 個 ETH 后，AMM 池中 ETH:DAI 價格達到與外部平衡的 1:100

不考慮手續費等因素，則有：

解得 dx≈1.3724, dy≈122.76，即套利者給了 122.76 個 DAI，換走了 1.3724 個 ETH。池子 -1.3724 個 ETH，+122.76 個 DAI

這將在所有比重中分擔，于是提供者分擔23.077%，即失去0.3167個ETH，換取28.33個DAI，我們得出如下表格：

IL_V2 = (540-536.66)/540 ≈ 0.6185%

具體將會取決于在 V3 做市區間，越小則杠桿越多，x' 和 y'越大，同時無常損失和手續費收益也會越多。

當然，用戶也可以如 V2 一樣將流動性分攤到整個曲線中去而不是某個線段，即在 0 到正無窮進行做市：

由于篇幅原因，本篇僅就集中流動性進行了討論。Uniswap V3 創新了很多的新功能，其復雜程度相較于 V2 增加了非常多。

無可否認，Uniswap V3 的創新使得 Uniswap V2 被加強，用戶可以選擇將其流動性集中在任何一個區間以獲得更多的手續費。

但與此同時這也將導致更多的無常損失和更大的資金轉換為劣勢資產速度，而這也產生了許多新特性如限價單 swap 等功能。

因此，在選擇做 LP 之前，需要認真思考自己的需求，切忌盲目做市。

Uniswap V3白皮書

Uniswap V3新特性解析

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