AMM:硬核：深入分析 TWAMM 做市商的數學原理

從數學角度論證和解釋 Uniswap 創始人與 Paradigm 研究團隊設計的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 與 Uniswap 創始人 Hayden Adams 一起合作設計了一個全新的做市模型「時間加權做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根據其發表文章介紹，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大額訂單，工作原理是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，在一定時間內使用嵌入式 AMM 平滑地執行這些交易。

關于 TWAMM 的虛擬交易所涉及的數學，Dave White 在文中并沒有多費筆墨，只在最后給出了非常簡單的數學結論，這對于理解 TWAMM 的數學原理非常不利。本文將重點對 TWAMM 的數學原理進行嚴格的論證和解釋，至于 TWAMM 模型詳細的設計原理，可以前往 Paradiagm 官網查看，本文不再做詳述。

美國眾議院議長麥卡錫：債務協議仍有一些工作未完成:5月27日消息，美國眾議院議長麥卡錫對記者表示，我們還沒有就債務上限達成協議，仍有一些事情未解決。會在時機成熟時達成債務上限協議。美國財長耶倫提出的新的X日日期（6月5日）不會改變任何事情。麥卡錫還表示國會可在6月5日的截止日期前完成工作。[2023/5/28 9:46:34]

假設 TWAMM 執行大額虛擬交易需要 N 個區塊，出售 X 的池子以每區塊 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每個區塊 yrate 的速率出售。因此，在整個期間售出的 X 總量為 xin=Nxrate，售出的 Y 總量為 yin=Nyrate。

同時，我們將此時間段嵌入 AMM 的初始儲備 xreserve 和 yreserve 分別表示為 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。

元宇宙相關加密資產總市值超110.67億美元:金色財經報道，據coinmarketcap數據顯示，元宇宙相關加密資產總市值超110.67億美元，24小時跌幅為2.01%，24小時交易額約11.25億美元。當前市值排名前五的元宇宙通證分別是：ApeCoin（17.33億美元）、TheSandbox（13.05億美元）、Decentraland（13.01億美元）、THETA（10.96億美元）、AxieInfinity（10.44億美元）、和EnjinCoin（4.66億美元）。[2022/9/26 7:20:48]

按照 TWAMM 的設計，大額訂單是隨著區塊進行交易的，每個區塊出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同時 AMM 會更新 xreserve 和 yreserve 的值，整個過程總共交易 N 次。

以太坊L2網絡總鎖倉量回升至54.6億美元:金色財經報道，L2BEAT數據顯示，截至目前，以太坊Layer2上總鎖倉量為54.6億美元。近7日漲幅5.55%，其中鎖倉量最高的為擴容方案Arbitrum，約28.2億美元，占比51.82%。其次是Optimism，鎖倉量15.9億美元，占比29.18%。dYdX占據第三，鎖倉量4.66億美元，占比8.55%。[2022/9/10 13:21:44]

值得注意的是，AMM 的每個區塊交易總是遵循恒定乘積做市。

首先，在執行第 n-1 區塊的交易后，我們假設此時 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分別為 xn-1 和 yn-1。

WeMade CEO：預計韓國明年將解除對P2E游戲的禁令:金色財經報道，韓國視頻游戲開發商WeMade首席執行官Henry Chang在2022年韓國區塊鏈周上表示，韓國總統尹錫烈領導下的新政府可能會在2023年取消對區塊鏈和P2E游戲的禁令。Henry Chang說：“新政府在一百天前上臺，現任政府正在考慮（修改）法律以允許韓國的區塊鏈游戲。”

據悉，韓國游戲評級和管理委員會（GRAC）禁止任何基于區塊鏈的游戲在國內發布，理由是擔心這些游戲鼓勵投機。（Forkast）[2022/8/9 12:12:24]

接下來執行第 n 區塊的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分別向 AMM 輸入 xrate 和 yrate，命：

CremaFinance：找到了黑客在黑客事件中使用的可疑discord賬戶:金色財經報道，CremaFinance在社交媒體上稱，根據合作伙伴提供的線索，我們找到了黑客在黑客事件中使用的可疑discord賬戶。我們正在與有關方面接觸，以獲得更多可能有助于偵查的信息。

金色財經此前報道，CremaFinance被黑客攻擊損失約880萬美元。[2022/7/4 1:50:09]

因為 xrate 和 yrate 非常微小，且區塊的交易 AMM 遵循恒定乘積做市商，我們可以得到，

化簡，

在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我們進一步可以獲得 n 區塊的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，

通過觀察，我們發現 xn*yn=xn-1*yn-1，這正好符合 AMM 的循恒定乘積做市的前提要求。

令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，這是一個常數。

先對 xn 求得一般公式，并獲得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。

yn 的分式線性遞歸表達式如下：

首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，則

計算得到，

而，

xin 等于 0，yin 不等于 0 時，討論同上。

若 xin 和 yin 都不等于 0，對于一般的分式線性遞歸，我們可以采用不動點的方法求解。

進一步計算，

TWAMM 的基本假設是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，也即是 N 可以取無窮大，這時候可以獲得 xN 的極限值。

其中，

相似的，

最后，經過簡單的驗證 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然滿足 AMM 的恒定乘積。

至此，我們完成了 TWAMM 的數學原理嚴格的論證和解釋，并得到了與 「時間加權做市商 TWAMM」 一文完全相同的結論。

撰文：luffy

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