AMM:AMM 的一般理論：恒定乘積以外，其他數學函數能降低無常損失嗎？

研究自動化做市商AMM的一般理論，以探尋改善無常損失的方法。

原文標題：《AMM的一般理論》撰文：鄒傳偉，萬向區塊鏈首席經濟學家

以Uniswap為代表的恒定乘積AMM在加密資產市場取得了巨大成功，但也受無常損失之累。一些項目試圖在Uniswap的基礎上進行改進，比如引入預言機報價來降低無常損失，但尚未有公認的成功改進方案。

要更好地理解這些問題，需要回到AMM的一般理論：1.除了恒定乘積公式以外，還能采取其他數學函數嗎，這些數學函數應該滿足哪些要求？2.在其他數學函數下，也會有無常損失嗎？3.什么樣的數學函數是最佳的？4.AMM與加密資產市場的其他交易方式的核心區別是什么？

本文試圖回答這些問題，共分三部分：第一部分討論AMM的一般形式，第二部分討論AMM的若干特殊形式，第三部分比較AMM與加密資產市場的其他交易方式。

Aave社區今日將開啟關于“棄用Aave V2 AMM市場”的ARFC提案投票:4月23日消息，Snapshot投票頁面顯示，Aave社區將于今日21:00開啟關于“棄用Aave V2 AMM市場”的ARFC提案投票，并將于4月29日結束。

該提案表示，考慮到AMM V2市場的低使用率，以及現在唯一未凍結的資產是V2 ETH和V3 ETH上可用的主要資產（DAI、USDC、USDT、WBTC、ETH），因此建議棄用AMM V2市場。這包括將所有LP代幣的清算閾值設置為零，并凍結所有其他資產（DAI、USDC、USDT、WBTC、ETH）。凍結資產不會清算頭寸。

將LT設置為零可以清算受影響的賬戶（以LP代幣抵押品借款的用戶），目前Aave V2 AMM市場上有大約15萬美元的LP代幣存款。

如果Snapshot投票通過，則發布AIP提案，并留出足夠的通知時間供用戶根據需要調整其倉位。[2023/4/23 14:22:00]

AMM的一般形式

基于Nitro測試網的AMM DEX NitroSwap將于3月正式推出:2月25日消息，Nitro Labs團隊宣布，Nitro Badge NFT持有者現在可以提前訪問基于Nitro測試網構建的AMM DEX NitroSwap。NitroSwap將于PST時間3月2日13點（北京時間3月3日5點）公開發布。

據悉，NitroSwap旨在模擬Nitro上的真實交易流程，并使用戶熟悉Nitro測試網。[2023/2/26 12:29:48]

為分析的簡單，本文只研究針對兩種加密資產的AMM，但相關研究很容易拓展到三種或三種以上加密資產的情形。

考慮兩種加密資產，分別稱為X和Y，并以加密資產X為記賬單位，也就是所有價格、市值的單位均為加密資產X。AMM的狀態體現為流動性池中兩種加密資產的數量，假設在某一時刻為(x,y)。在AMM的一般形式下，不管兩種加密資產之間如何交易，流動性池始終滿足

SushiSwap宣布即將推出下一代AMM Trident:10月6日消息，官方消息，SushiSwap宣布，即將推出下一代AMM Trident，正尋找加密社區用戶來測試并提供反饋。[2021/10/6 20:08:20]

在流動性池狀態為(x,y)時，流動性池中兩種加密資產的市值之間的關系為

(1)和(7)從不同角度刻畫了AMM，它們之間是相互等價的。換言之，通過限定流動性池中兩種加密資產的市值之間的函數關系，也能定義AMM。

(8)盡管是一個簡單分析，但對理解加密資產市值有豐富含義。第一，即使在加密資產數量不變的情況下，它們之間的交易會改變它們之間的價格關系，從而使加密資產總市值發生變化。

總的來說，這一部分對AMM的一般形式的分析主要得到如下結論：

SBF討論AMM和訂單簿結合的交易方案:加密衍生品交易所FTX首席執行官、Serum創始人SamBankman-Fried今日在推特上與網友討論自動做市商（AMM）機制問題，并討論將AMM和訂單簿（orderbook）結合在一起的方案。他表示，可以通過把所有的AMMs簡單聚集在一起，而后提供相同的orderbook來實現曲線。具體而已，AMM模式想要實現x*y=k，所以AMM提供了模擬曲線，報價也一樣；當一個出價被滿足，則會被另一個出價所代替，反之亦然；要在AMM上交易，只需在訂單簿上交易。這樣所有AMM在同一交易對上共享流動性，客戶只需查看訂單，而不必考慮使用哪一個。也可以使用限制訂單，如果訂單簿支持保證金，AMMs也可以。[2020/9/20]

AMM的若干特殊形式

根據第一部分的討論，任何單調遞減凸函數均可以用來定義AMM。

ProEx首席分析師Sammo：BTC突破上方9450壓力位或將海闊天空:據ProEX網站數據，自4月底比特幣沖破7800重要關卡后，一路飆升至9480強壓力位附近后迅速回落至8500水平；之后5日左右均于8500-9200價位做箱體震蕩整理行情，并于5月6日20:00及5月7日7:00再次試探9450附近壓力位但未能突破。比特幣減產話題搭配著單邊多頭行情持續延燒著。根據ProEX研究團隊數據，近期ProEX及各大交易所持倉量均持續上升，市場看多情緒強烈，行情也以多方主導。再者，自4月底大幅拉升后，ProEX交易所多空人數比持續高于1.05，最高值接近1.3，以多頭操作居多。ProEX首席分析師Sammo表示：9450附近高點壓力上方為主要籌碼及博弈區，若能突破4月30日14:00(UTC+8)高點壓力并收線高于此價位，則可樂觀地推測將有一波幅度強大的單邊多頭行情。但若未能突破，則形同大級別趨勢多次筑頂，必須注意回撤風險。建議投資人謹慎操作，分散風險。[2020/5/7]

為方便與Uniswap的比較，接下來使用一個等價表述

(16)說明，在其他條件一樣的情況下，α越大，無常損失的數值越小。這一點也通過對(15)的數值計算驗證：

表1：α對無常損失的影響

如果讓α取值為1/2，就得到Uniswap的恒定乘積公式，因此Uniswap屬于一類廣義AMM的特例。因為沒有任何一對加密資產在基本面上完全一樣，所以α=1/2沒有邏輯上的必然性。如果要降低無常損失，可以適當調高α。比如，如果加密資產X是穩定幣，加密資產Y是以太幣，α完全可以大于1/2，一個選項是α=2/3。在一般情況下，α可以通過AMM社區自治決定。

AMM與其他交易方式的比較

(2)可以等價表述為

引入如下函數

總的來說，AMM的核心機制是：流動性提供者基于算法承諾，為投資者提供關于交易價格和數量的確定性。這種確定性的代價是流動性提供者鎖定流動性并承擔無常損失。

為更好理解這一點，需要將AMM與拍賣機制相比較。在加密資產市場的各種交易機制中，只要存在訂單薄，不管有沒有做市商，其核心都是拍賣機制。接下來以Algorand采取的荷蘭式拍賣為例說明。盡管這個例子是出售資產，前文對AMM的分析是從購買資產的角度進行，但不同視角不影響分析邏輯。

荷蘭式拍賣也被稱為「減價式拍賣」：賣方由高往低喊價，直到有人愿意購買，此價即為成交價。在策略上可以證明，荷蘭式拍賣等價于第一價格封閉式拍賣。在第一價格封閉式拍賣中，所有競拍者同時提交「暗標」，從而沒有競拍者知道其他競拍者的出價。出價最高的競拍者獲得標的，并支付他的出價。

Algorand的荷蘭式拍賣與美國國債一級市場拍賣類似。美國國債一級市場采用荷蘭式拍賣有相當長歷史。從1929年-1992年，美國財政部使用「多重價格」荷蘭式拍賣。第一步：一級交易商提交自己能接受的到期收益率及在該到期收益率上愿意購買的數量。第二步：所有競標將按到期收益率從低到高排列，直到意愿購買數量等于債券的供給數量，臨界到期收益率即為清算價。第三步：所有提交的到期收益率低于清算價的一級交易商按自己愿意購買的數量獲得債券，購買價格根據各自的到期收益率計算。臨界到期收益率上的一級交易商按各自愿意購買的數量分配剩余額度。因此，在競標中勝出的一級交易商購買債券的價格是不一樣的。

1992年至今，美國財政部改用「單一價格」荷蘭式拍賣。「單一價格」荷蘭式的拍賣的前兩步與「多重價格」荷蘭式拍賣一樣。在第三步，仍是所有提交的到期收益率低于清算價的一級交易商按自己愿意購買的數量獲得債券，但購買價格根據清算價計算。「單一價格」荷蘭式拍賣中引入了兩類競標：第一種是競爭性的，即競標者要同時說明自己能接受的到期收益率及在該到期收益率上愿意購買的數量；第二種是非競爭性的，即競標者只需說明自己愿意購買的數量。在存在兩類競標的情況下，清算價的確定方法同上。但在債券額度分配上引入優先順序：先滿足非競爭性競標，再將剩余額度分配給競爭性競標，按提交的到期收益率從低到高分配。

Algorand的荷蘭式拍賣相當于「單一價格」競爭性競標。第一步：確定Algo拍賣數量以及起始競拍價格；第二步：競拍價格按時間線性遞減，在每個競拍價格上記錄競拍者愿意購買的數量，直到累計的愿意購買數量等于拍賣數量，臨界價格即為清算價；第三步：競拍價格高于清算價的競拍者勝出，按競拍價格從高到低分配Algo額度，價格統一為清算價。

圖1：Algo競拍價隨時間線性遞減

圖2：Aglo清算價的確定

從荷蘭式拍賣實踐不難看出，交易價格和數量由市場決定，在事前看是高度不確定性的，而AMM能提供這方面的確定性。對AMM與場內集中撮合、場外詢價成交等交易機制的區別，也可以按類似邏輯理解。

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