BSP:用小學數學知識理解 RSA 加密算法的數學原理

原文標題：《用吃奶的勁試著解釋加密算法的數學原理》

撰文：王建碩

前不久 Jason 同學邀請復旦大學數學系的梅同學給希望了解 Web3 的朋友們上了 5 節硬核的數學課。從自然數開始，一直講明白了 RSA 非對稱式加密的細節。我再回顧一下，嘗試解釋這個其實還挺復雜的事兒。

（前方數學預警，但是我保證努力限制在小學數學知識范圍以內）

3 * 7 算出 21 容易嗎？容易。反過來，21 是哪兩個數的乘積？也不難，但肯定比算 3 * 7 麻煩。

同理 967 * 379 = 366493 容易。反過來，366493 是哪兩個數乘積？難多了。

隨著乘積的不斷變大，算乘法的難度略微增大，算是這個數是由哪兩個數相乘的難度陡峭的增加。

一個一百位數字的數和一百位數字的數相乘，手工算不容易，但對計算機來說不難，結果是一個大約兩百位數字的數字。

反過來，把這個 200 位的數字分解？基本上現在能想到的辦法就是近似于一個一個的試。別說算乘法了，光從一數到 80 位的數字，按照現在的計算水平，就要消耗掉一個中等恒星一生的能量了。所以，簡單結論是，超級大的數字做分解不可能。

就利用這個簡單的原理，加上聽起來故弄玄虛的歐拉定理，就是一個精妙絕倫的 RSA 加密算法。

這個東西的數學名稱叫「取模」，就是算「一個數除以 n 以后的余數是幾」。

不過我們不用這個名字。我自己發明的一個混雜了數學和計算機的概念，叫做 n 進制取個位。比如 n = 8，八進制下只取個位，超過的十、百、千位數就直接扔掉，那么 15 這個數本來八進制就是 17，只取個位，就是 7。所以，我們規定，15 在八進制個位模式下，就等于 7。同樣，23，31 等，在 8 進制取個位下，都等于 7。這個「等于」，不是絕對數字的相等，而是經過了 n 進制取個位，我們用 ≡ 表示這種特殊的等于（正規說法叫做「模 n 同余」，可以忽略）。

Meme項目Monkeys完成品牌升級:據官方消息，Meme項目猴子Monkeys，今日完成社區重建和品牌升級，更新標語為“see no evil/非禮勿視”。據悉，Meme項目猴子Monkeys旨在為加密世界帶來幽默感和興奮感。[2023/4/16 14:07:00]

這樣，如果 n 是 4 萬公里的話，數字的世界變成像地球一樣，是一個循環。在赤道上可以向東走 1 萬公里，和向西走 3 萬公里結果是一樣的，甚至向西走 7 萬，11 萬，15 萬公里的終點是一樣的，就是一圈一圈的轉就是了。所以 4 萬進制取個位， 1 萬 ≡ -7 萬 ≡ -11 萬 ≡ -15 萬。注意，畢竟走 7 萬公里和走 11 萬公里不相等 ( = )，但是在地球赤道上走，他們的效果相等 ( ≡ )。

例子：比如在 20 進制取個位下，3 * 7 的結果就是 1 （本來是 21，結果走過頭了， 又繞回來，回到了 1 ）。

這有啥用呢？神奇的事情在于，在 20 進制取個位下，任何數乘以 3 再乘以 7，就相當于乘以 1，就是這個數本身！

比如 12 * 3 = 36 ；36 % 20 = 16; 16 * 7 = 112; 112 % 20 = 12

變回原來了。神奇嗎？

2022年BLOK、LEGR和BLCN三支加密ETF表現好于比特幣:12月25日消息，據TradingView數據顯示，2022年有三支加密ETF的表現好于比特幣，分別是Amplify Investments旗下Transformational Data ETF (BLOK) ， First Trust Indxx Innovative Transaction & Process ETF (LEGR)、以及Siren Nasdaq NexGen Economy ETF (BLCN)。

1、BLOK主要持股包括SBI Holding、CEM Group和GMO Internet Group等，當前資產價值約3.6億美元，目前該ETF對比特幣礦企敞口創歷史新低并表示將在2023年關注Coinbase；

2、LEGR持股包括Infineon Technologies、Nordea Bank等，當前資產約近1.1億美元；

3、BLCN持股中，Coinbase的權重最高，其次是GMO Internet Group、Advanced Micro Devices、IBM和SBI Holdings，該基金目前擁有8700萬美元資產。（blockworks）[2022/12/25 22:06:21]

在 20 進制取個位下，你把一個數乘以 3，我不用除以 3，而是繼續乘以 7 ，就是原來那個數。不僅僅是 7，我把乘 3 的數字乘以 67，127，或者 187。。。。它都會回到原來那個數，只是轉的圈數多了些。

這就使得，如果兩個數在一個 n 進制取個位下乘積為 1，這兩個數不就是一個很好的加密和解密的工具嗎？

Atomico合伙人：今年艱難的經濟環境已經淘汰了一些加密行業的“游客”:金色財經報道，風險投資公司Atomico合伙人Irina Haivas周三在倫敦舉行的彭博技術峰會上表示，今年艱難的經濟環境已經淘汰了一些加密行業的“游客”，留下了一批更強大的公司。炒作已經過去了，因為這意味著建立加密公司的人意識到市場狀況，并且想要建立更可持續的東西，而不是投機。[2022/9/28 5:59:23]

比如數字大一點，在 366492 進制取個位下，任何數乘以 967 得到的數再乘以 379，就是它本身。

如果我把 e = 967 當做公鑰，d = 379 當做密鑰，我只需要告訴別人（ e = 967, n = 366492）這兩個數字，別人乘積以后交給我，我再乘以 d ，然后。。。。

不過有一個小問題，如果給出了（e = 967, n = 366492）這兩個數，別人除以 e 不就得到了我的秘鑰 d 嗎？畢竟，你可以算乘法，別人就可以算除法，而且難度差不多。我們把這個辦法成為露餡兒加密法。

接下來要做的事情，就是想辦法把這自己的密鑰藏起來，讓別人拿到 n 進制數，還有公鑰 e，沒有辦法算出我的密鑰，但是依然可以用 e 加密，我可以用私鑰 d 解密不就好了？

我們引入 φ(n) 。它的定義可厲害了，是「小于 n 的正整數中和 n 互質的數的個數」。這個定義忽略就好，只要知道，如果 n 是兩個素數 p, q 的乘積的話， φ(n) = (p-1)(q-1)。

德克薩斯州比特幣礦工面臨立法者的審查:金色財經報道，美國立法者們正在向德克薩斯州電力可靠性委員會（一個負責運營孤星州電網的組織）尋求有關過去六年采礦業所消耗的電力的信息。根據立法者信中提供的數據，僅七家公司消耗的電力就足以為整個城市的83萬戶居民供電。馬薩諸塞州參議員Elizabeth Warren將德克薩斯州描述為一個不受監管的安全港，聲稱采礦企業的涌入對該州的能源市場構成了威脅，使電網變得緊張。信中認為，德克薩斯州的納稅人不應該補貼礦業公司的利潤。Warren還說，為比特幣礦工提供的補貼也將加劇氣候危機。[2022/10/13 10:33:01]

歐拉發現了一個驚天大秘密，居然在 n 進制取個位下，如果 m 和 n 互為質數，m 的 φ(n) 次方 居然等于 1：

m ^ φ(n) ≡ 1

兩邊都取 k 次方：

m ^ (k * φ(n)) ≡ 1

兩邊都乘以 m ：

m ^ (k * φ(n) + 1) ≡ m

k * φ(n) + 1 是啥意思？就是這是一個「除以  φ(n) 余數為 1 」的數字。也就是說，只要找到 e*d 這兩個數，使得他們的乘積除以 φ(n) 余數為 1 就好。這個好找，有一個叫做輾轉相除法的方法，不過這里先略過。我們一般常常把 e 固定的設為 65537，然后就可以找到一個滿足的 d。

美國弗吉尼亞養老基金宣布對Parataxis Capital加密基金投資3500萬美元:金色財經報道，管理68億美元的美國弗吉尼亞養老基金宣布對Parataxis Capital的數字收益基金（digital yield fund）投資3500萬美元。截止目前，該養老金已投資兩個加密收益基金，總額達7000萬美元

此前報道，美國弗吉尼亞養老基金宣布對VanEck的新金融收益基金（new finance income fund ）投資3500萬美元。（thecoinrepublic）[2022/8/6 12:06:22]

最后，也就是最驚艷的一步，如果我們能夠找到這樣的 e, d，我們把 e 和 n 告訴整個世界，讓他們在 n 進制取個位下，把要加密的數字 m 取 e 次方發給我，我對這個數再進行 d 次方，我就能得到 m。

(m ^ e) ^ d ≡ m

到現在大家應該已經無一例外的暈厥了。這很正常。我們再理一下就清楚了。

就是說，如果我能無論用什么方法，找到一個進制 n，在這個 n 進制取個位下，能夠找到兩個數字 e 和 d，e 公開給整個世界，d 留給自己，同時還能讓任何數字 m 的 e 次方的 d 次方還等于原來這個 m，加密解密算法不就成立了嗎？就跟最早我說的那個乘以一個數，再乘以另一個數，總等于原來的數字一樣？

但露餡兒加密法兩個乘法的算法的明顯的漏洞在于，e 和 n 給出了，d 也就給出了。

在這個新的算法中，e 給出了。n 給出了，但 e * d  ≡ 1 的進制，不是簡單地 n，而是和 n 同源，但是不同的 φ(n) 。正因為進制改了，所以也不能用露餡兒加密法里面的兩次乘法，而借用歐拉的驚天發現，做了兩次冪運算。

從 n 能不能算出來  φ(n) 呢？如果有能力分解 n 當然 φ(n) 唾手可得，把兩個因子各自減一再乘起來就好。

但是從 n 能不能輕易地找到 p 和 q 呢？根據最早的大數不可分解，要想找到 100 個太陽燒掉都不夠用，p 和 q 好像是腳手架，算出來 n，算出來 φ(n) 就扔掉了。 那么  φ(n) 就是一個秘密。如果 φ(n) 是個秘密，有了 e 也找不到 d。

所以，整個算法是無比精巧的安全。

我們找兩個腳手架數字：p = 2, q = 7，算出 n = 2 * 7 = 14,  φ(n) = (2 - 1) * (7 - 1) = 6 。那兩個腳手架數字 p, q 在算出 n 和 φ(n) 后就退休了。找在 6 進制取個位下，e * d ≡ 1 好辦，e = 5, d = 11 就行 （ 5 * 11 = 55 = 6 * 9 + 1 ≡ 1）。

這樣，公布給全世界的數字就是 (e = 5, n = 14)，保留給自己的就是 d = 11。φ(n) 千萬也不能告訴任何人。φ(n) 就如同總統，n 如同他的影子。世界只能看到他的影子，看不到總統本人。好在影子在世間行走不怕暗殺，總統躲在防空洞里是安全的。

我們來試一下，在 14 進制個位模式下，如果要傳遞的數字 m = 2，別人把 m ^ e 算出來，就是 2 ^ 5 = 32 = 2 * 14 + 4 ≡ 4

現在，4 就可以大大咧咧的在互聯網上隨便傳輸了。只有我知道有一個秘密是 11 。我拿到以后，算 4 的 11 次方，4 ^ 11 ≡ 4,194,304 % 14 ≡ 2 ，不就是別人要給我的那個數字嗎？前提是，我們認為 別人從 n = 14 無法分解成 2 * 7，否則就全露餡了。

14 肉眼可以看出等于 2 * 7。

這個數 n：

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559 

是 p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以 q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

計算機眼也看不出來。 p 和 q 如同兩位門神，死死的守住了獲取它們后面的秘密的入口。但是從 p，q 算出 φ(n) ，以及 e，d，卻都是舉手之勞。

如果知道 n 的組成是 p，q，我們按照上面的算法可以選出來 e 和 d：

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是說，這個游戲，任何人要把一個數字 m 傳給我，只需要在 n 進制取個位下，對它進行 65537 次冪（m ^ 65537），我再把它進行 d 次冪，我就拿回了原來的數字。

這個精巧的算法，就是 RSA 加密算法。

希望有人能夠看明白。我真的是盡力了。

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