MOD:密碼專欄 | 動手計算雙線性對（下）

前言

上一篇文章中，我們在"F_101"上找到了17個點滿足橢圓曲線方程，他們構成一個循環。那么在"F_101"中元素作為坐標的點中還有沒有其他的點也滿足方程呢？換句話說，上篇文章列出的17個點是不是就是滿足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以驗證(3,38)也滿足橢圓曲線的方程，但是他不是上面17個點中的一個。另一個子群

實際上，我們甚至可以通過將(6,44)作為生成元來得到一個102個元素的循環群，這個循環群涵蓋了曲線在"F_101"上的全部點。但是，曲線在"F_101"上的循環周期為17的循環群卻只有中篇列出的一個，也就是說在"F_101"上討論的話，循環周期為17的點已經被我們全部找到了。

在中篇中，我們也提到數域的擴張會直接影響我們需要討論的點的多少，那么如果我們對"F_101"進行擴張，是否能夠得到更多的循環周期為17的點呢？METASTATE的博客中給出這樣一個例子，我們將用這個例子說明這個命題的真假。首先我們選擇滿足j^2mod17=15的j用于對"F_101"的擴張，過程就像我們上一篇文章中進行的那樣，擴張后的域記為“F_101的二次擴域”。在這個擴張下，我們可以找到另一個循環周期為17的群，下面的表格列出這個群的全部元素：

直播｜YOYO >普通人的財富密碼全球經紀人解析:金色財經 · 直播主辦的《 幣圈 “后浪” 仙女直播周》第10期，本期由58COIN TOP天團組成，20:00正在直播中，本期“后浪”仙女58TOP女團超模擔當 YOYO將在直播間分享“普通人的財富密碼全球經紀人解析”，請掃碼移步收聽！[2020/7/29]

我們隨機選擇(66,0+23j)這個元素來驗證其滿足曲線方程：

左側：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42

右側：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42

左側等于右側，驗證完畢。

劉昌用：現階段密碼共識的制度創新沒跟上，使技術淪為投機工具:北京大學經濟學博士、知密大學創始人劉昌用發微博稱，密碼共識（也就是所謂區塊鏈）作為信息革命的一個里程碑，是一次綜合性的革命。它首先是技術革命，其次是制度革命。技術層面主要使人們能夠更加安全高效地掌控信息，制度層面消除中心化帶來的信息壟斷，構建更加自由開放的社會關系。技術革命推動制度革命，制度革命釋放技術潛能。現階段，技術構架已經搭建起來，制度創新沒跟上，使技術淪為投機工具。[2020/7/4]

在發現通過域擴張后還能找到更多的17階點后，我們不禁會想：

繼續對”F_101的二次擴域”進行擴張，能否找到更多的17階點呢？

或者是：為了找到全部的17階點，我們需要對F_101進行幾次擴張呢？

嵌入度其實就是描述這個問題的一個概念。E是定義在F_101上的橢圓曲線，我們已經有一個包含n=17個點的子群，我們稱這個子群的嵌入度是滿足17整除q^k-1的最小的k。在這個例子中，k=2。計算嵌入度的價值在于事實證明，當對F_101進行擴張以期其上的橢圓曲線包含全部17階點時，最小的擴張次數就等于嵌入度。也就是說在”F_101的二次擴域”上，我們已經找到全部的17階元素。

99Pool但丁密碼DAC參與分紅人數已達3875人:據99Pool官方消息，自但丁密碼DAC上線以來，憑借無需鎖倉，隨存隨取，當日分紅等優勢吸引大量用戶的參與，截止當前DAC參與分紅人數已達3875人，DAC突破歷史最高價格，為認購價格的185%。

據悉，但丁密碼DAC 基于蟻群算法的啟迪，采用改良優化而得的排序加權算法，作為共識算法的基本運行邏輯，目的是打造一個完備的區塊鏈金融基礎設施平臺。99Pool是99Ex投資孵化的區塊鏈廣告價值分享和數字資產管理平臺，現日活用戶已經突破19萬。[2020/7/3]

Millier循環

下面給出計算雙線性映射的Millier算法，當計算e(P,Q)時，該算法根據P的坐標創建一個二元多項式，然后將P坐標的x和y分量帶入求值：

國家標準工作組教授何程：密碼數字身份鏈及其在線教育的應用探討:金色財經報道，數字島與清華大學技術創新發展中心聯合主辦的“2020高校區塊鏈技術創新云論壇”6月20日成功舉辦。論壇由數字島發起人兼CEO劉靖主持，匯集“百校百人百媒”，探討高校區塊鏈技術創新與人才培養。

國家標準《教育卡應用規范》工作組教授何程發表名為《密碼數字身份鏈及其在線教育的應用探討》的主題演講。何教授表示，目前“第三方在線學習與在線管理平臺”需要解決一系列問題，而可信教育身份鏈能有效解決當前“在線教育、在線管理”所關注的主要問題，并與大家分享了試點的應用案例。[2020/6/20]

METASTATE的博客中作者已經計算了e((1,2),(90,82u))點的結果為97+89j。我們給出另外一個計算的例子，并且稍后通過對比這兩個例子的結果說明雙線性對的一些屬性。

動態 | 亞馬遜獲得密碼學及分布式數據存儲方法的專利:據cointelegraph報道，電子商務巨頭亞馬遜獲得了兩項與保護數字簽名完整性和改善分布式數據存儲方法相關的專利。這兩項專利于11月13日由美國專利商標局（USPTO）公布。[2018/11/14]

其中f_17是二元的多項式，通過一個稱為Millier循環的過程我們可以生成該多項式，這個過程類似于計算指數運算時的mul-and-square操作。但是為了更直觀的展示原理，我們選擇根據上文定義直接展開計算f_17，這會增加一些計算量。

因此我們需要計算

的表達式。通過查詢上一篇文章的列表我們可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：

接下來我們來計算這些直線的方程：

這樣我們已經可以計算f_17的結果：

最后我們計算(81+52j)^600

完全解決curve101配對問題

實際上，我們可以計算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值為7+28j。這樣我們能夠完全掌握GT中全部的元素：

可以看到GT也是一個循環群，他其實是在“F_101的二次擴域”上滿足方程x^17=1的17個根。根據該表我們不加以計算就可以知道這個配對的任何一個計算結果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5個元素：93+25j。我們之所以能夠完全解決curve101的配對問題，是因為curve101的一系列參數決定其足夠簡單，而實際零知識證明算法中使用的配對就要復雜很多。例如一些標準中要求其配對曲線的嵌入度至少為12，這意味著GT的元素至少是基礎素域的12次擴張！如果其素域特征為常見的256位，那么為了表示一個GT元素就需要256*12/8=384字節的大小。對于任何一個實際使用的曲線，其計算復雜度和規模都使我們當前絕無可能計算出其映射表，這也是離散對數問題困難的所在。

通過系列文章，我們計算了一個簡單的配對曲線，加深了對雙線性映射的理解。后續，我們繼續使用這個配對曲線來講解和演示零知識證明中Groth16算法的過程和原理，敬請期待。

喬沛楊趣鏈科技基礎平臺區塊鏈底層密碼學小組

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