CAS:五分鐘讀懂 DODO 背后的 PMM 算法：一個通用性的流動性框架及多種用例

撰文：雷達熊，DODO創始人

一個有效的市場包含巨量信息，這些信息承載了市場對價格的判斷。但是鏈上計算資源有限，要在鏈上實現一個高度靈活的市場，就好像要把大象塞進冰箱。

把大象塞冰箱這種事情并不罕見，互聯網歷史上已經有過幾次壯舉。例如圖像壓縮，音頻壓縮。

壓縮的本質是提取最重要的特征，拋棄不重要的細節信息。

那么，一個市場最重要的特征是什么，是流動性。流動性可以表示為一張深度圖。

從下圖我們看到，深度圖可以抽象為兩個三角形，而描述這兩個三角形，只需要中間價和斜率即可。

我們盯住右邊的賣盤梯形深度，它的最大特點是，被買走的BaseToken越多，價格越高。因此，這種線性深度可以表示為

BitMax首發Swingby 開盤五分鐘漲幅779.12%:BitMax交易所已于7月24日 22:00（北京時間）獨家首發Swingby (SWINGBY)，并開放SWINGBY/USDT交易。

截至目前（7月24日）22:05，SWINGBY在BitMax該平臺現報價0.22 USDT，較開盤漲幅為779.12%。

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其中i是第一個參數「midprice」，k是第二個參數「slope」。

B表示當前的BaseToken庫存，B0表示初始BaseToken庫存，(B0-B)/B0用來表示有百分之多少的BaseToken被消耗掉了。

這一公式可以使得價格隨著BaseToken被賣出的數量線性增長。

但是，線性真的是描述流動性最好的方法嗎？并不是，線性描述有兩個局限：

真正的市場，大部分流動性集中市場中間價附近，而線性描述并沒有反應這種不平衡的分布。

即使價格遠遠偏離市場中間價，也應該有流動性，而線性描述下的價格是有上下限的。

我們為價格曲線引入了非線性。在不擴充參數的前提下，使深度分布更符合市場規律，靈活度更高。

行情 | BSV過去五分鐘跌近4%，短線逼近101USDT:BSV過去五分鐘跌近4%，短線逼近101USDT，OKEx現報102USDT。[2019/12/1]

最簡單的非線性解決方案，就是使用乘法而非加法。

這個公式可以滿足隨著B的減小，P不斷增大，直至無窮大。但是要怎么把斜率的影響加進去呢？

這就需要對B0/B這一項做改造了。B0/B≥1，我們用一個參數對其進行縮放，在保持此數值大于等于1的同時，可以控制它「大于1的程度」。

上式中，k的取值范圍是，決定了價格的斜率。

當k=0時，價格完全不變

當k=1時，價格斜率退化到上一個版本的公式

行情 | BTC五分鐘快速上漲超1%:據火幣行情顯示，BTC短時快速上漲超1%，最高報價5060USDT，當前火幣現報5029USDT，今日漲幅1.29%。主流數字貨幣普漲。[2019/4/6]

k越大，價格變化越敏感。k越小，價格變化越不敏感。

但是還有一個小問題，這里的P是邊際價格，對邊際價格的積分才是用戶需要支付的資產數量。上式中，B0/B這項積分后出現了對數函數，這會使后續計算變得很復雜。為了避免這一麻煩，我們再進一步：

在B0/B外面加一個平方項，這樣積分后就變成了一個簡單的除法。

令人驚嘆的是，當k=1時，這條曲線正是AMM所定義的bondingcurve。這種巧合使我們相信，這是一套更加觸及市場本質的算法。

同理，對于左半邊的深度圖，我們用對稱的做法，將basetoken替換為quotetoken，將乘法替換為除法：

BTC五分鐘內上漲1.01%:BTC五分鐘內上漲1.01%，上漲金額為67美元，其中火幣PRO上現價為$6692.09，請密切關注行情走向，注意控制風險。[2018/6/20]

我們將左右兩邊的深度圖結合起來，就得到了PMM算法的完全版本，整理一下：

PMM算法是對Orderbook市場的高度壓縮，參數簡單，卻極度靈活。

這使得我們在冰箱如此狹小的空間內，擁有了堪比大象的能力。

下面我來列舉，通過調整參數和充提規則，這套算法可以實現哪些usecase。

UseCase1跟隨外部市場價格的主動做市

這一usecase的應用場景是擁有巨大外部市場的主流幣，例如ETHBTC等

PMM可以實現主動調整盤口價格，減少IL。獲得比AMM更高的資金利用率，并且持有單幣種就能提供流動性

設置如下：

將價格i設置為外部市場價格

將k設置為小于1的數字

BTC五分鐘內上漲1.01%:BTC五分鐘內上漲1.01%，上漲金額為65美元，其中火幣PRO上現價為$6567.89。[2018/6/13]

允許任何人單邊充提

這一UseCase我們稱之為DODOClassicPool。

UseCase2輕資本需求的自動做市算法

這一usecase應用于沒有主觀定價能力的長尾幣市場，將定價權完全交給taker

通常來講，長尾幣都是新資產，在AMM框架下沒有足夠的賣盤流動性，因而導致其流動性長期匱乏

設置如下：

將價格i設置成起始發行價

任意設置k

第一筆充值可以以任意資產比例，且不改變市場價

后續充值必須按照當前資產比例同時操作兩種資產

這一UseCase我們稱之為DODOVendingMachine。

UseCase3完全自由的做市算法

這一usecase為那些雄心勃勃，想要大展拳腳的做市商準備。

在此usecase下，資金池的全部資金都歸做市商所有。所有參數都可以調整，做市商可以根據他的判斷為資產靈活定價。同時做市商可以任意充提單一幣種，而不影響市場價格。

例如：

在ETH=700USDT附近做市，使用很小的k獲得非常有競爭力的流動性，并賺取大量手續費。當察覺到ETH有上漲預期時，撤出ETH庫存以減少單邊風險。但這一操作并不削弱買盤流動性。

新資產發行項目方只提供代幣而不提供資金。在1$開始銷售代幣。為了讓更多人以合理價格買到代幣，設置了較小的k，使得代幣上漲溫和。隨后項目方發現需要使用資金，則可以直接提出資金池中的資產，而不損害賣盤流動性，即用戶仍然可以買到大量廉價代幣。

設置如下：

只有做市商能充提，允許單幣種操作

這一UseCase我們稱之為DODOPrivatePool。

UseCase4流動性眾籌

我們可以將新資產發行分為兩階段：

不開啟現貨交易，所有參與發售的人都以相同的價格獲得代幣

以上一階段的結束價格開啟現貨交易，使用上一階段剩余的代幣和資產建立DODOVendingMachine

這一UseCase我們稱之為CrowdPooling。

UseCase5退化為AMM

當滿足以下條件時，PPM算法表現和AMM相同。

設置k=1

必須按照當前價格比例同時充提兩種資產

這也意味著，AMM是PMM的一種特殊情況。推導過程如下：

AMM的價格公式是xy=k，其中k是常數，x、y則分別代表兩種代幣的數量。為了避免字母上的歧義，我們把AMM公式中的恒定乘積定義為Const，并將其改寫為y=Const/x。

其中y代表quotetoken庫存，x代表basetoken庫存，價格可以寫為對y求導。

接下來回到k=1的PMM公式，我們可以將其寫成：

我們發現，PMM價格公式的分子上為常數，分母為basetoken的庫存。只要令

AMM的定價公式，與PMM的定價公式就一致了！

UseCase6穩定幣交易

設置如下：

i=1

k=0.001

算法表現可以與curve相同，并且更靈活，可以比curve更接近剛性兌換，或更接近AMM。

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